Formel-

Sammlung

Algebra

Autor:	Drifte Marcel
Datum:	19. Nov. 2006
Dokumentname:	Algebra.sxw (openoffice.org)
Dokument zu finden unter:	www.formelsammlung.telabo.ch

Inhaltsverzeichnis

1. Allgemein	2

2. Matrizen	6

3. Folgen	10

4. Reihen	12

5. Potenzreihen	13

6. Differentialrechnen	15

7.10 Numerische Integration	20

8. Partialbruch zerlegung (PBZ)	23

9. Partielle Differentation	24

10. Komplexe Zahlen	26

11. Differentialgleichungen	28

15. Fourier reihen	33

16. Laplacetransformation	36

17. Z-Transformation	38

51. Eigenschaften von Vektoren	40

53. Trigonometrische Funktionen	41

54. Sinussatz und Cosinussatz	43

55. Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen	44

56. Gleichungen der Geraden	45

57. Die Gleichungen der Ebene	46

58. Das Scalare Produkt zweier Vektoren	47

59. Zueinander normale Geraden und Ebenen	48

60. Kreis und Kugel	49

61. Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt	51

62. Das Spatprodukt	52

98. Spezielle Gleichungen	54

99. Boolesche Algebra	55

1. Allgemein

1.1 Mengenlehre

	Leere Menge	{ }
	Menge der natürlichen Zahlen	{ 0,1,2,3,4,... }
	Menge der nat. Zahlen ohne 0	{ 1,2,3,4,... }
	Menge der ganzen Zahlen	{ ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... }
	Menge der rationalen Zahlen	{ }

1.2 Grundlagen

Fakultät	Dies gilt für (n³1) Per Definition: 0! = 1
Binominalkoeffizenten	

Das kann durch das Pascalische Dreieck dargestellt werden

											k=0									
n=0										1		=1								
=1									1		1		=2							
=2								1		2		1		=3						
=3							1		3		3		1		=4					
=4						1		4		6		4		1		=5				
=5					1		5		10		10		5		1		=6			
=6				1		6		15		20		15		6		1		=7		
=7			1		7		21		35		35		21		7		1		=8	
=8		1		8		28		56		70		56		28		8		1		=9
=9	1		9		36		84		126		126		84		36		9		1	

Funktion beim HP48GX

[MTH][PROB][COMB]

Daraus folgt:

1.2.1 Betrag

Im Taschenrechner unter ABS(x)

Regel: Allgemeine Rechenregel: Für reele Zahlen gilt Dreiecksungleichung:	

1.2.2 Logarithmen

Stöcker S.50f

Allgemein:

	(a>0) manchmal auch als geschrieben

Umformungsregeln Summe: Differenz: Potenz: Wurzel: Wechseln der Basis =	G(ln)

1.3 Polynome

1.3.1 Horner-Schema

Das Hornerschema hilft einem bei der Berechnung von Funktionswerten einer ganzrationalen Funktion sowie das schrittweise reduzieren einer Polynom Funktion(abspalten einer Nullstelle). P(x)=a0 + a1x + a2x2 + a3x3 Das Hornerschema kann verwendet werden um zB. den wert des Polynoms P(x) an der Stelle x0 zu berechnen. Mit dem HP GX48 Für konstante Koeffizienten kann [SOLVE-POLY] Verwendet werden Die Koeffizienten werden in [ ... a3 a2 a1 a0] angegeben.

1.3.2 Nullstelle aus einer quadratischen Funktion

	ax2 + bx + c = 0 Stöcker s 60.

1.3.3 Lösungsmenge

	D: Diskriminate
Diskriminate	Lösungen
D=0	Gibt es nur eine reelle Lösung
D>1	Gibt es zwei reelle Lösungen
D<0	Komplexe Lösungen

1.3.4 Satz von Vieta im Stöcker p.60

Mit dem HP GX48

[VAR] [ALGE] [Q.GLEI]

1.4 Hyperbolische Funktionen

1.4.1 Definition

1.4.2 Eigenschaften

	“ungerade Funktion“
	“gerade Funktion“

1.4 Area Funktionen

1.4.1 Definition

2. Matrizen

2.1 Was sind Matrizen?

	Matrizen sind in Spalten und Zeilen aufgeteilt: Wobei m der Spaltenindex und n der Zeilenindex ist

2.2 Inverse einer Matrix

Vorgehen: Dann mittels Gausselimination die Matrix in folgende Form bringen Die Inverse ist somit	Die Matrix muss gleich viel Spalten wie Zeilen haben. Nach Gaus-Jordan An die Bestehende Matrix wird eine Einheitsmatrix angehängt.
Schnelle 2x2 Matrixinverse	Nur Invertierbar wenn (ad-bc) ¹ 0
Rechenregeln 1 ist die Einheitsmatrix	Bem: Matrizen können nicht Dividiert werden!
Mit dem HP [1/x] für Numerische und [LIBRARY][ALG][AINV] für Symbolische Matrizen.	Num: [ [ 1 2 ] [3 4] ] Sym: {{ 1 2 } {3 4}}

2.3 Die Transponierte einer Matrix

Vorgehen: =>	Matrix an der Haupt diagonale Kippen
Rechenregel	Falls A-1 existiert gilt:
Mit dem HP [MTH][MATR][MAKE][TRN] für Numerische und [LIBRARY][ALG][ATRN] für Symbolische Matrizen.	Num: [ [ 1 2 ] [3 4] ] Sym: {{ 1 2 } {3 4}}

2.4 Rang einer Matrize

Bei Zeilenumformungen ändert sich der Rang nicht. Mit dem HP 48 MTH][[MATR][NORM][RANK]	Der Rang einer Matrize sind die Anzahl nicht verschwindene Zeilen nach dem man sie auf Dreiecks oder Trapezform gebracht hat. Die Dreiecks oder Trapezform erhält man zb. durch den Gausalgorytmus. Anwendungen: Über den Rang kann bei einem Gleichungssystem die Lösungsmenge bestimmt werden.

2.5 Multiplikation

Multiplikation nach dem Falkscheme (Stöcker 408) C=AB Allgemein	Matrix B muss gleich viel Zeilen haben wie A Spalten hat.
Regeln	

2.6 Determinanten

Man Schreibt: Haupt diagonale Neben diagonale	Eine Determinante ist eine Abbildung die eine Quadratische Matrix A eindeutig eine reelle (komplexe) Zahl zuordnet. Man liest „Determinante von A“ Dabei ist n die Ordnung der Determinante
2x2-Matrix	
3x3-Matrix
nxn Matrix Danach nach folgender Formel	Mittels Gauseleminationsverfahren die Matrix in 3-Eckform bringen so wie unten.
Mit dem HP [MTH][MATR][NORM]DET] für Numerische und [LIBRARY][ALG][ADET] für Symbolische Matrizen.	Num: [ [ 1 2 ] [3 4] ] Sym: {{ 1 2 } {3 4}}
Rechenregeln:	

Oder auch mit dem Entwicklungssatz nach Laplace STÖCKER P415,416

Allgemeine Regeln:

1. Vertauschen von Spalten	Vertauschen von zwei Spalten führt zu Änderung des Vorzeichens der Determinante
2.	Die Determinanten der Transponierten Matrix ist gleich der Determinanten der Matrix
Alles was für Spalten gilt, gilt auch für Zeilen. Bsp Es ändert sich das Vorzeichen der Determinante wenn man zwei Spalten vertauscht	
	Multipliziert man eine Spalte(Zeile) mit einem Faktor l, dann ändert sich die Determinante um den selben Faktor.
	Addiert man ein Vielfaches einer Spalte(Zeile) zu einer anderen Spalte(Zeile) dann ändert sich die Determinate nicht!
	wenn a + b= a ( c + d) oder a + c= a ( b + d)	Sind die Zeilen(Spalten) eine Matrix liniear abhängig so verschwindet die Determinante
Folgerung:	Wenn man die Determinante eines Produkts betrachtet gilt folgendes:
	Determinanten einer Dreiecksmatrix berechnet sich aus den Produkten der Diagonalelemente
	Bei Speziellen Formen: Wobei:

2.7 Lösung von Gleichungssysteme mittels Determinante(Carmen-Reg)

	Gleichungssystem mit 3 Unbekannten

Mittels Determinaten kann folgendermassen nach x,y und z aufgelöst werden:

Vektorschreibweise	Ausgeschrieben:
Für x: Spalte 1 ist durch d ersetzt	
Für y: Spalte 2 ist durch d ersetzt	
Für z: Spalte 3 ist durch d ersetzt	

Bemerkung:

Es können beliebige (Singuläre ) Gleichungen mit n Gleichungen und n Unbekannten gelöst werden. Es wird hierbei wie oben für die erste Unbekannte(x) bei der Det() im Nenner die 1.Spalte durch die Letzte Spalte (d) ersetzt, für die

2. Unbekannte (y) die 2. Spalte durch die Letzte ersetzt usw.

2.7 Das Simplex-Verfahren

Vorgehen:

1. Bestimmung des Pivoelements

1. Das Pivoelement muss negativ sein

2. Das Pivoelement muss oberhalb von eines positiven z-Elements liegen

3. Kleinstes Element suchen außer in der [1] (pivo) Spalte.

Der negativste Quotient von oben ist das gesuchte Pivoelement

2.Beschriftung

Beschriftung Pivospalte mit Pivozeile vertauschen

Vorher	Nachher
	x1	x2	1			y1	x2	1
y1	Pivo				x1	Pivo		
y2					y2			
z					z			

3. Pivoelement berechnen

-Kehrwert des Pivo Element Pivo = 1/PivoAlt

Vorher(Alt)	Nachher
	x1	x2	1			y1	x2	1
y1	-5	-6	4		x1	-1/5		
y2	-1	-2	7		y2			
z	4	15	0		z			

4. Pivozeile berechnen

Pivozeile[x]= -PivozeileAlt[x]/PivoAlt

Vorher(Alt)	Nachher(Neu)
	x1	x2	1			y1	x2	1
y1	-5	-6	4		x1	-1/5	-6/5	4/5
y2	-1	-2	7		y2			
z	4	15	0		z			

5. Restliche (ohne Pivospalte) berechnen

Eintrag[x][y]=PivospalteNeu[x]*PivoZeileAlt[y] + EintragAlt[x][y]

Vorher(Alt)	Nachher(Neu)
	x1	x2	1			y1	x2	1
y1	-5	-6	4		x1	-1/5	-6/5	4/5
y2	-1	-2	7		y2		-4/5	31/5
z	4	15	0		z		51/5	16/5

6.Pivospalte berechnen

Pivospalte[y]=PivospalteAlt[y]/PivoAlt

Vorher(Alt)	Nachher(Neu)
	x1	x2	1			y1	x2	1
y1	-5	-6	4		x1	-1/5	-6/5	4/5
y2	-1	-2	7		y2	1/5	-4/5	31/5
z	4	15	0		z	-4/5	51/5	16/5

Ausführen bis alle Elemente in der Zeile ohne die [1] Spalte kleiner als 0 sind

3. Folgen

3.1 Allgemein

	Eine Folge ist eine Anordnung von unendlichen vielen Elementen. Zwei Folgen sind nur dann gleich wenn alle ihre Glieder übereinstimmen.

3.2 Rechenregeln

Addition:	
Multiplikation mit einer reellen Zahl	
Recht schieben um m Stellen	Es werden 0-en voran geschoben.
Links schieben um m Stellen:	Es werden die ersten m stellen gelöscht.

3.2 Nullfolge(NF)

	Eine Nullfolge ist eine Folge deren Glieder alle Null sind oder gegen Null streben.
oder	Eine Folge wird Nullfolge genannt, falls ein existiert

Verschiedene Nullfolgen

	HARMONISCHE FOLGE
für	Jede Geometrische Folge für IqI < 1

Grundsatz

Es kann gesagt werden, dass eine Folgen die kleiner oder gleich einer Nullfolge ist, auch Nullfolgen ist.

3.3 Alternierende Folge

	Eine Alternierendefolge ist eine Folge bei der aufeinaderfolgende Glieder unterschiedliche Vorzeichen haben.

3.4 Differenzfolge

(k=1,2,3,...)	BSP: Gegebene Folge 1.Differenzfolge

3.5 Arithmetische Folgen (AF)

(k=1,2,3,...) d: Differenz zum nächsten Glied	Die Differenz zweier aufeinander folgenden Glieder ist bei arithmetischen Folgen konstant, dh. unabhängig von k
	BSP: ist eine arithmetische Folge.

3.5.1 Summe einer AF

oder	Spezialfälle:

3.5.2 Aritmetische Folgen höherer Ordnung

BSP: Gegebene Folge 1.Differenzfolge 2.Differenzfolge	Die zweite Differenzfolge ist eine Konstantefolge ! Man sagt dann (n2) ist eine AF 2. Ordnung

3.6 Geometrische Folgen (GF)

(k=1,2,3,...) (k=1,2,3,...)	Eine Folge bei der die Quotienten zweier aufeinander folgender Glieder immer gleich gross sind, d.h. konstant. q: quotient zweier aufeinander folgende Glieder =konst

3.6.1 Summer einer GF

Definition	
Die Summe der Glieder einer endlichen GF	
Die Summe der Glieder einer unendlichen GF	Für und gilt:

3.7 Zinsrechnen

Zinseszinsrechnung	Kn =Kapital nach n Jahren p =Prozentsatz K0 =Anfangskapital
Für Stetige verzinsung nach n Jahren gilt	
Nachschüssige Einzahlungen	R= Nachrate (Sie wird am ende einer Zinsperiode einbezahlt) q= Quotent der GF (q=1+p) (n=0,1,2,3,4...)
Vorschüssige Einzahlung	

4. Reihen

4.1 Unendliche Reihen

	Das Problem ist wie addiert man unendlich viele Glieder?
Für die Summe gilt dann	Man Betrachtet eine Teilsumme und prüft ob diese gegen ein bestimmten wert strebt.(konvergiert)

Satz

Die Reihe konvergiert. Die Reihe divergiert Die Reihe konvergiert für alle e>0

4.1.1 Konvergenz Kriterien

1. Konvergenztest Die Reihe divergiert wenn S=	Falls kann die Reihe divergieren oder Konvergieren.
2. Quotientenkrieterium eine Reihe mit pos. Gliedern	Geeignet wenn ak Fakultät von k oder k-te Potenz enthält. konvergiert für divergiert für
3. Wurzelkriterium eine Reihe mit pos. Gliedern	Geeignet wenn ak k-te Potenz enthält. konvergiert für divergiert für
4. Majoranten und Minoranten Krieterium Falls und zwei Reihen mit pos. Gilt konvergiert => konvergiert. divergiert => divergiert .	Beide Reihen dürfen nur positive Glieder aufweisen. Dieser Test bedarf einer gewissen erfahrung und sollte deshalb erst am schluss angewendet werden.
5. Leibniz-Kriterium Die Reihe () konvergiert wenn: 1.) (ak) monoton fallend ist 2.) (NF) ist.	Kann für alternierende Reihen verwendet werden.

5. Potenzreihen

5.1 Definition

Eine Potenzreihe in Potenzen von (x - x0) ist ein Reihe der Form:	STÖCKER p.511,513 ak: Koeffizienten x0: Zentrum oder Entwicklungspunkt x: Variablen
	Will man ein Potenzreihe untersuchen dann empfiehlt es sich , die Partialsumme zu untersuchen zu betrachten (Summe der Erstenglieder): (Siehe unter anderem auch in 4.)

5.1.1 Konvergenzradius

Potenzreihe	Für jede Potenzreihe in (x - x0) gibt es eine reelle Zahl R ³ 0, genannt Konvergenzradius so, dass die Potenzreihe:
< R	Konvergiert
> R	Divergiert
= R	Konvergieren oder Divergieren Es sind weitere Untersuchungen nötig
Quotienten Kriterium	Der Konvergenzradius falls der Grenzwert existiert
Wurzelkriterium	bezw. dieser Grenzwert existiert

5.1.2 Konvergenzbereich

	Menge aller x R(oder C) für die die Reihe konvergiert

5.2 Approximation von Funktionen

Ziel ist es eine gegebene Funktion f(x) in der Umgebung eines Punktes a durch ein Polynom

Pn(x) n-ten Grades zu approximieren.

5.2.1 MacLaurin Polynom (punkt a=0)

Das n-te MacLaurin Polynom lautet Für den Fehler siehe 5.2.3	Es soll gelten:
Lösungsansätze ohne die Ableitungen zu berechnen. Parzialbruchzerlegung 8.1 Summe einer unendlichen Geometrischen Folge 3.6.1

5.2.2 Taylor Polynom (punkt a!=0)

	Das Taylor Polynom n-ten Grades einer Funktion f(x) an der stelle a.

5.2.3 Restglied nach Lagrange

Fehler an der Stelle x oder	Falls die Funktion in einer Umgebung der Stelle x=a und n+1 mal differenzierbar ist und dasTaylor-Polynom von f an dieser Stelle ist
	wobei c zwischen x und a liegt.

5.2.4 Binominialreihe

für ( -1 < x < 1 ) oder	x kann substituiert werden. dh. vor x kann ein Faktor stehen.

5.3 Approximationspolynom nach Newton

Lineare Interpolation	
Quadratische Interpolation
Approximation höhere Ordnung	

6. Differentialrechnen

6.1 Grenzwerte

Linksseitiger Grenzwert x<x0	
Rechtsseitiger Grenzwert	

6.1.1 Rationale Funktion

Definition	
Die Pole einer Rationalenfunktion Die Rationale Funktion r(x) hat an der Stelle x0 einen Pol k-ter Ordnung falls x0 eine k-fache Nullstelle des Nennerpolynoms hat.

6.1.2 Regeln

Summation	Wenn der Grenzwert von g und f existiert
Multiplikation	Wenn der Grenzwert von g und f existiert
Division	Falls lim g(x) != 0
Multiplikation mit einer Konstanten	c eine Reele Zahl
Wurzel	f(x) > 0

6.1.3 Stetige Funktionen

Definition Man nennt eine Funktion f stetig im Punkt c, falls gilt Man kann ihren Graphen ohne abzusetzen zeichnen. f(c) ist definiert existiert Eine Funktion, die in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig ist, nennt man eine stetige Funktion. Polynome Sinus,Cosinus,hyperbolikusfunktion Exponentialfunktion , Logarithmus

6.1.4 Funktion bleiben unter folgenden Regeln stetig

Summation	Sind f und g stetig (in C)
Multiplikation	Sind f und g stetig (in C)
Division	Sind f und g stetig (in C) und g nicht 0

6.1.5 Hilfsfunktionen zum berechnen trigonometrischer Grenzwerte

	Nur für sehr kleine x (x » 0)

6.2 Differential

Definition Berechnung der Steigung einer beliebigen Funktion im Punkte x
Differenzenquotienten von f an der Stelle x	
Steigung der Sekante	

6.3 Ableitung im Punkte x

= f’’(x) =	Unter der Ableitung (Differentialquotient) der funktion f im Punkt x versteht man diesen Grenzwert
oder	
Rechtsseitige Ableitung	
Linksseitige Ableitung	

6.3.1 Ableitung Elementarer Funktionen sofern g’(x) und f’(x) existiert

Ableitung von	

Ableitung von	
Ableitung von	
Ableitung von	Summenregel
Ableitung von	Produktregel
Ableitung von	Divisionsregel
Ableitung von Polynomen	
Kettenregel	Anwendung bei komplizierten Ausdrücken hilfreich
Ableitung der trigonometrischen Funktionen	
Ableitung der Umkehrfunktion	

6.3.2 Ableitung der zyklonischen Funktionen

	Definitionsbereich [ -1,1 ]
	Definitionsbereich [ -¥,¥ ]
	Definitionsbereich [ -¥,¥ ]
	Definitionsbereich [ -¥,¥ ]

6.3.3 Ableitung der Logarithmusfunktion

	Spezialfall:

6.3.4 Ableitung Exponentialfunktion

	Spezialfall:

6.3.5 Ableitung des Betrags

6.3.6 Ableitung der hyperbolischen Funktionen

6.3.7 Ableitung der Areafunktionen

,	
,	

6.4 Implizites Differenzieren

Die Funktion ist in Impliziterform gegeben Vielfach ist es möglich diese nach y’ aufzulösen aber nicht immer. zb. Kreis, Ellipse. Es wird dabei y=f(x) angenommen damit ergibt sich Diese kann man nun auf beiden Seiten differenzieren Dabei erhält man Nun setzt man für y(x)=y und für y’(x)=y’ ein und löst diese nach y’ auf y hängt nun von x,y ab. Setzt man nun einen Punkt, der auf der Kurve liegt ein erhält man die Steigung y’

6.5 Ableitung höhere Ordnung

Mehrfaches Ableiten einer Funktion.

6.6 Logarithmisches Ableiten einer Funktion f(x)

Oder	Eine weiter möglichkeit eine Funktion Abzuleiten ist diese Logaritmisch abzuleiten. Es gilt:

6.7 Das Newton verfahren mittels differentieren

Für jeden Iterationsschritt gilt:	

6.8 Das Differential

6.8.1 Linearisieren einer Funktion

Linearisieren einer Funktion bedeutet das „ersetzen einer Fkt. durch eine möglichst gute lineare Fkt. in der Umgebung von x0 In der Nähe von x0 gilt:	

6.8.2 Definition des Differentials

6.9 Regel von Bernulli d’Hospital

Grenzwert	Für Ausdrücke der Form oder
Wenn der Grenzwert bei der ersten Ableitung nicht existiert dann gegeben falls mehrmals ableiten	

6.10 Krümmung von Kurven

Allgemein Krümmung einer Funktion f(x) Krümmungsradius	
Krümmung in Parameterform	
Mittelpunkt des Krümmungskreises In koordinaten Darstellung In Parameter Darstellung x(t)=t y(t)=f(t)	Evolute(Siehe Stöcker) Die Kurve aller Krümmungsmittelpunkte der ursprünglichen Kurve. Evolvente Die ursprüngliche Kurve

6.11 Kurvendiskusion

Ziel: Wesentliche Eigenschaften einer gegebenen Funktion qualitativ ermitteln damit zb. der Graph gezeichnet werden kann. Vorgehen: Definitions und Wertebereich Symetrie / Periodizität f ist gerade wenn f(-x)=f(x) f ist ungerade wenn f(-x)=-f(x) f ist periodisch wenn f(x+T)=f(x) für alle x aus D(f) Stetigkeit / Unstetigkeitsstellen In welchen Intervallen ist f(x) stetig? Wo hat f(x) Pole,Lücken, Sprungstellen? Nullstellen Asymtotisches verhalten Für Für Extremalstellen(lokale / Globale) Wendepunkte Monotonie verhalten f ist monoton wachsend falls f’(x)>0 und fallend falls f’(x)<0 im betrachteten Interval Krümungsverhalten

7.10 Numerische Integration

7.10.1 Trapezregel

7.10.2 Fehlerabschätzen bei der Trapezregel

	Falls f ’’ steig ist in [a,b] und

7.10.3 Simpsonregel

n: muss gerade sein. Die Simpsonregel ist genau bis und mit 3- Grades	

7.10.4 Fehlerabschätzen bei der Simponregel

	Falls f(4) stetig ist in [b,a] und

7.11 Uneingentliche Integrale 1.Art (Stöcker P.524ff)

7.11.1 Uneigentliche Integrale 2. Art

7.11.2 Uneigentliche Integrale mit einem pol

Louch-Hauptwert	

7.12 Gammafunktion

Definition	Die Gammefunktion ist eine erweiterung der Fakultät
Stirling-Formel	Gilt nur für sehr grosses n.

7.13 Laplacetransformation

	Siehe dazu in Kapitel 16. weiter vorne

7.14 Flächen unter Kurven

7.14.1Fläche unter einer Kurve

7.14.2 Flächen in Polarkoordinaten

7.14.2.1Leibz’sche Sektorformel

7.14.3 Länge einer Kurve

7.14.4 Länge einer Kurve aus Parameterdarstellung

7.14.5 Länge einer Kurve aus polarkoordinaten

7.15 Rotationskörpern

7.15.1 Volumen von Rotationskörpern

7.15.2 Oberfläche von Rotationskörpern

7.15.3 Schwerpunkt eines Rotationskörpers

Für zwei Massen Als Vektor Allgemein	
Schwerpunkt einer Fläche	

Schwerpunkt eines Rotationskörpers Bei einer diskreten Massenverteilung im Grenzfall	

7.15.4 Trägkeitsmoment (Stöcker S.554)

Allgemein	
Trägheitsmoment eines Kreisringes	
Trägheitsmoment einer Kreisscheibe	

8. Partialbruch zerlegung (PBZ)

8.1 Vorbereitung (Polynom Division)

	P(x),Q(x) Polynome
Ausdruck ist keine echt gebrochene Zahl.	Dh. Grad(P(x)) > Grad(Q(x)),
P(x) : Q(X) =	Dies wird durch Polynom division erreicht.

8.1.1 Mit HP (Polynom Division)

Programm HOME\ALGE\POLY\PDIV Parameter: { Faktoren P(x) } = {... p3 p2 p1 } Achtung: 0xn nicht vergessen { Faktoren Q(x) }= {... q3 q2 q1 } Resultat: { Faktoren neues Polynom N(x) } { Rest Polynom Zähler(x) } { Rest Polynom Nenner(x) } =>

Das Polynom N(x) kann problemlos integriert werden. Für den Restbruch verwende nun PBZ.

8.2 Parzialbruchzerlegung

Beschreibung im Stöcker 206,207

8.2.1 Parzialbruchzerlegung mit dem HP

Programm: HOME\ALGE\POLY\PBZL Parameter im Menü : { Faktoren Zähler(x) }= { ... Zähler2 Zähler1 } { Faktoren Nenner(x) } Resultat: Lesen mit HOME\ALGE\POLY\LESE Liste aus Summen { A1 { ... a13 a12 a11 } p1 } { A2 { ... a23 a21 a21 } p2 } {..{...}...} Bedeutung:

9. Partielle Differentation

9.1 Schreibformen von Funktionen

	Explizite Schreibform
	Implizite Schreibform

9.2 Grenzwert

	Dies muss für alle Kurven durch (x0,y0) gelten.

9.3 Richtungsableitung

oder	Ableitung in eine bestimmte Richtung . Der Vektor hat die länge 1.

9.4 Partielle Ableitung

Bei der partiellen Ableitung wird nach allen k variablen abgeleitet. Die nicht verwendeten Variablen, bei jener Ableitung, werden als konstant betrachtet. Das ¶ Zeichen steht für partielle Ableitung.	

9.5 Differenzierbarkeit

Eine Funktion ist differenzierbar in x0 falls: existiert f lässt sich in der Umgebung linearisieren	

9.6 Gradienten

Der Gradient ist ein Vektor.	Der Gradient zeigt immer in die Richtung mit der grössten Steigung. Der Gradient steht senkrecht auf der Niveau Linie. Der Gradient steht bei 3 Parametern senkrecht auf der Tangentialebene. Verschwindet der Gradient so ist dieser Punkt ein Extrema.

9.7 Linearisierung

Im punkt x0 kann die Kurve ein stückweit durch ein Gerade ersetzt werden. o: klein Lamdau (nur eine Hilfsvariable)	

9.8 Extrema

Siehe Stöcker

9.8.1 Extrema mit Nebenbedingung, Prinzipal - Funktion

Für eine Nebenbedingung g(x,y): für die obige Gleichung muss gelten und die Funktion g muss als gegeben sein. Der Lagrange Multiplikator(en) verschwinded am ende wieder.	Für beliebige Nebenbedingungen gk(x,y): bedingungen wie links.

9.9 Kettenregel

z = f(x;y) sei eine Funktion der beiden unabhängigen Variablen x und y, diese wiederum sind von einem Parameter t abhängig: x = x(t), y = y(t) Dann ist die durch Einsetzen dieser Parameter-Gleichung in die Funktionsgleichung z = f(x;y) erhaltene Funktion z = f(x(t) ; y(t)) = F(t) eine zusammengesetzte, verkettete Funktion dieses Parameters, deren Ableitung nach folgenden Kettenregel gebildet wird:	Allgemein

9.10 Totale Differential

Dies ist die Änderung von f wenn sich die Argumente xk (k=0,1,...,n) nur kleine grössen dxk k=0,1,...,n) ändern.	

9.11 Ableitung höherer Ordnung

Satz von Schwarz Existieren die partiellen Ableitungen fx,fy,fxy,fyx und sind stetig, so gilt fxy = fyx	

9.12 Gewöhnliche Differentialgleichungen

9.12.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen

DG 1 Ordnung gegeben ( g(y) != 0 ) kann duch umformen in (trennen der Variablen nach links und rechts) umgeformt werden. Daraus erhält man.

10. Komplexe Zahlen

Beim HP48GX als (x,y) oder (x y) eingeben.

Allgemein Kartesischen Koordinaten Polarkoordinaten	
Addition
Division
Multiplikation
Potenzieren	
Logarithmus für gilt:	k = ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, .... somit unendlich viel Lösungen
Konjugiertkomplex oder Mit HP [MATH][CMPL][CONJ]	
Zeiger z Wird ein komplexe zahl als z geschrieben so ist sie als Zeiger gemeint.
Polarekoordinaten r,j oder Nach Euler Hilfreich:	
Tabelle von jx j0 j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7	= 1 = j = -1 = -j = 1 = j = -1 = -j

Ortskurven

Inversion der Ortskurve (Inversion einer komplexen Zahl in der komplexen Ebene)

Hinweis:

Der Punkt mit dem kleinsten Abstand (Betrag) vom Nullpunkt führt zu dem Bildpunkt mit dem grössten Abstand (Betrag) und umgekehrt.

Ein Punkt oberhalb der reellen Achse führt zu einem Bildpunkt unterhalb der reellen Achse und umgekehrt

	Inversionsregel: Geraden und Kreise werden durch die Inversion nach folgenden Regeln abgebildet:
	z-Ebene	w-Ebene
	Gerade durch den Nullpunkt	Gerade durch den Nullpunkt
	Gerade die nicht durch den Nullpunkt verläuft	Kreis durch den Nullpunkt
	Mittelpunktskreis	Mittelpunktskreis
	Kreis duch den Nullpunkt	Gerade die nicht durch den Nullpunkt verläuft
	Kreis, der nicht durch den Nullpunkt verläuft	Kreis, der nicht durch den Nullpunkt verläuft

Berechnung eines Wechselstromkreises mit Hilfe von Widerstands und Leitwertoperatoren

Schaltelement	Symbol	Widerstandsoperator	Leitwertoperator
Ohmscher Widerstand		R	
Kapazität C			
Induktivität L			

Impedanz Z=R+jX (Widerstand)	Admidanz Y=1/Z (Widerstand)

11. Differentialgleichungen

11.1 Separierbare Differentialgleichung

Typische Form Die Lösung erhält man durch Separieren und Integrieren	Bemerkungen: g : hängt nur von x ab h : hängt nur von y ab Als erster Schritt müssen die Variablen Separierte werden. d.h alle x auf eine Seite und alle y auf die andere. C :Integrationskonstante Siehe auch Stöcker p.609

11.2 Substitution zB. mit y=v×x

Gegebene Form Substitution durch und die Ableitung davon Für die Rechte Seite erhält man Somit: Nach dem Auflösen nach v und x muss man noch Rücksubstituieren.	Bemerkung: h und g sind homogene Funktionen gleichen Grades Eine Funktion ist homogen wenn gilt. Durch die Substitution wird führt man die Homogene DG in eine Separierbare über. Siehe auch Stöcker p.609

11.3 Exakte Differentialgleichung

Typische Form oder Lösungsweg: (1) P Integrieren über x ergibt: (2) Die Integrationskonstante (y) erhält man durch Integration von (3) (3) Diese wird dann in (2) eingesetzt und man erhält dann (4) Die Lösungsform ist (4)	Herausfinden ob Exakt: Möglicherweise mit einem Integrierenden Faktor M exakt machen. M=M(x) oder M(y). d.h. C : Integrationskonstante Siehe auch Stöcker p.609

11.4 Lineare Differentialgleichungen 1 Ordnung

Lineare DG 1. Ordnung Typische Form Sie ist homogen wenn Lösung:	p und q sind nur von x abhängig. q wird Inhomogenität, Störung, oder quellterm genannt. Siehe auch Stöcker p.610

11.4.1 Methoden der „Variablen Konstanten“

1.Schritt Löse die Homogene DG: Diese ist separierbar. Allgem. Lösung: 2.Schritt Berechne eine partikuläre Lösung: in dem wir C=C(x) auffassen (variieren). Wir nehmen an: Einsetzen in DG Einsetzen und auflösen erhält man: 3. Schritt Die allgem. Lösung ist nun:	Siehe auch Stöcker p.610

11.5 Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung

Reduktion der Ordnung Aus erhalten wir zwei DG 1. Ordnung => y’ = z	Bemerkung Man kann jede DG höherer Ordnung in ein System vom DG 1. Ordnung überführen. Diese kann dann mit einer der bekannten Methoden gelöst werden.

11.6 Superpositionsprinzip

Für homogene Lineare DG, beliebiger Ordnung, gilt: Sind y1 und y2 zwei Lösungen der DG, dann ist auch eine Lösung der DG Für inhomogene Lineare DG gilt:	Bemerkungen yh: Allgem. Lösung der zugehörigen homogenen DG yp: Partikulare Lösung. Kann oft erraten werden wegen Abhängigkeit von r(x)

11.7 Lineare DG mit konstanten Koeffizienten 2. Ordnung

Typische Form Lösungsweg in 4 Schritten 1.Schritt: Lösung der zugehörigen homogenen DG Erstelle charakteristische Gleichung (Die Exponenten entsprechen dem Grad der Ableitung.) Lösungen aus der char. Gleichung: l1=l2 l1¹l2 (lÎR) (C1,C2ÎR) l1,2= -a/2±jw Wobei	Bemerkungen Siehe auch Stöcker p.612 C1,C2 nicht zusammenfassen!

2.Schritt Berechnen einer Partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung: Wähle unten, anhand von r(x) , den Ansatz. Wenn der Ansatz bereits eine Lösung der homogenen DG ist, verwende Modifizierungsregel. Bestimme die Konstanten des Ansatzes,durch einsetzen in die DG. in DG einsetzen. a,b sind die Koeffizienten der DG , r ist die Störung der DG Danach bestimme Cn (ev. w) durch koeffizientenvergleich. (Das linke muss das Rechte ergeben) Ansatz:
Störung r(x) ‘rechts der Gleichung’	Ansatz für yp
oder	
Grundregel:	Falls r(x) eine der Funktionen in der linken Spalte der Tabelle ist, so verwendet man die entsprechende Funktion in der Rechten Spalte im Ansatz für die partikuläre Lösung yp.
Modifizierungs-regel:	Die Grundregel wird modifiziert, falls ein Ansatz für yp genommen werden müsste, der gleich einer der Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung ist. In diesem Fall nehme man des x-fache des ersten Vorschlages, bzw. das x2-fache, falls die charakteristische Gleichung eine reelle Doppellösung hat.
Summenregel:	Besteht die Störung aus einer Summe der Einträge in der linken Spalte, so verwende man im Ansatz für yp die entsprechende Summe der Rechten Spalte.
3.Schritt: Bestimme die allgemeine Lösung der DG.	yh enthält noch C1..Cn
4.Schritt: Bestimme eine Spezielle Lösung mit den Anfangsbedingungen. y(x) aus Schritt 3 mehrmals ableiten. Dann x mit den Anfangsbedingungen setzen. Dies für auf ein Gleichungssystem mit den Variablen C1...CN nach den aufgelöst werden muss.

11.7.1 Lösen linearer DG’s mit konstanten Koeffizienten höhere Ordnung

Gegeben DG folgender Form	y=y(x) ax Koeffizienten g(x) Störung
1. Lösung der homogenen Gleichung	
Die charakteristische Gleichung mit den Nullstellen l1, l2, l3, l4, ....ln	l=l(x) ax Koeffizienten lk Nullstellen
Für die doppelten und vielfachen reelen Nullstellen gilt: und für die Komplexen vielfachen Nullstellen gilt siehe Stöcker
2. Lösen der Inhomogenen Gleichung	
Siehe weiter vorne	

11.8 Wronski-Determinante

	Die Wronski-Determinante ist ein Hilfsmittel. Mit ihr kann überprüft werden ob zwei Lösungen Linear unabhängig sind. Zwei Lösungen einer DG sind dann lin. unabhängig wenn W(x) ¹ 0 für wenigstens ein x.

11.9 Systeme von Differentialgleichungen

Aus einem System von zwei DG’s 1. Ordnung erzeugt man eine DG 2. Ordnung. BSP: x=x(t) , y=y(t) zwei DG 1. Ordnung ==> x’ und x in 1. Gleichung einsetzen ==> man erhält eine DG 2. Ordnung Nun weiter wie in „Lineare DG mit konstanten Koeffizienten“ beschrieben. Lösungsform: x(t) = .... y(t) = ....

11.10 Lösen linearer DG’s mit konstanten Koeffizienten höhere Ordnung

Gegeben DG folgender Form	y=y(x) ax Koeffizienten g(x) Störung
1. Lösung der homogenen Gleichung	
Die charakteristische Gleichung mit den Nullstellen l1, l2, l3, l4, ....ln	l=l(x) ax Koeffizienten lk Nullstellen
Für die doppelten und vielfachen reellen Nullstellen gilt: und für die Komplexen vielfachen Nullstellen gilt
2. Lösen der Inhomogenen Gleichung	
Siehe weiter vorne	

11.11 Elektronische Schwingkreise

Spannungen:	Q : Ladung [C]

15. Fourier reihen

15.1 T-Periodische Funktionen

Die Fourier reihe ist definiert	ak,bk sind die gesuchten Fourier Koeffizienten
Die Fourier koeffizenten ak	für k=0,1,2,3,....
Die Fourier koeffizenten bk	für k=1,2,3,....

15.2 Spezielle Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen

Gerade Funktion	Eine gerade Funktion enthält nur Cosinusanteile
Ungerade Funktion	Eine ungerade Funktion enthält nur Sinusanteile

15.2.1 Tipps

15.3 Energiesatz

	Die totale Energie einer Welle ist gleich der Summe der Energien der einzelnen Fourierkomponenten.

15. 4 Komplexe Fourier reihe

Definition	
Die Fourierreihe ist definiert	k=-¥....¥
Die Fourierkoeffizenten	

15.4.1 Umwandlungen

Komplex-> real	
Real->complex	

15.5 Fourier reihe als beste Approximation

	Die Fourreihe ist die beste approximation der Funktion f(x)
Fehler:	Fehler entstande Fehler bei der FT

15.6 Diskrete Fouriertransformation

Gegeben: eine 2 p periodische Funktion durch N Messwerte . Gesucht: eine trig. Polynom der Form: C0...Cn-1 sind die zu bestimmenden koeffizenten. N ist ein vielfaches von 2. Die Koeefizenten sind durch Folgendes Gleichungssystems bestimmt: (Schema)	

15.7 Diskrete FT mit dem HP 48

Programm [MATH][FFT][FFT] Parameter [ f0 f1 f2 f3 ... fN-1 ] Resultat [c0 c1 c2 c3 ... cN-1 ]	N ist ein vielfaches von 2

15.7.1 Diskrete inverse FT mit dem HP 48

Programm [MATH][FFT][IFFT] Parameter [c0 c1 c2 c3 ... cN-1 ] Resultat [ f0 f1 f2 f3 ... fN-1 ]	N ist ein vielfaches von 2

15.8 Fourier integral & Fouriertransformation

15.8.1 Fouriertransformation

Definition	Eine Funktion f(t) im Zeitraum transformieren in eine Funktion F() im Frequenzraum.
Transformation	f ist ein genügend anständiger, nicht notwendigerweise periodische, Funktion.

15.8.2 Fourier Rücktransformation

Definition	Eine Funktion F() im Frequenzraum Transformieren in eine Funktion f(t) im Zeitraum.
Transformation	

15.8.3 Diverser FT f(t) àF()

f(t)	= F()
	(a!=0)

Siehe Stöcker Seite 668 und folgende

Wenn die rechte Seite f(t) dann verwende Transformationspaar regel weiter vorne.

15.9 Regeln

Linearität der FT	
Transformationspaar	ist ein Transformationspaar dann gilt auch die linke Formel Zum Beispiel aus dem Stöcker s.668
FT eines Differential oder allgemein	f eine anständiger Funktion.
Zeitskalierung:	
Zeitverschiebung:	
Frequenzskalierung:	
Frequenzverschiebung:	

15.9.1 Satz von Parcel

15.10 Deltafunktion

Definition	

15.10.1 Eigenschaften der Deltafunktion

1.)
2.) Heavisidefunktion
3.)

15.10.2 Heavieside Funktion (Sprungfunktion)

Definition siehe auch Deltafunktion	
Bemerkung Mit der Heavieside Funktion können auch komplexere Funktion zusammen gebaut werden. Wie Impuls oder Treppen. (* , +/- )

15.11 Faltung zweier Funktionen

Die Faltung zweier Funktionen f(t) und g(t) ist definiert durch:

15.11.1 Faltungssatz

16. Laplacetransformation

Die Laplacetransformation wird verwendet um Differentialgleichungen und entsprechende Anfangs- und Randwertprobleme zu losen. Die Lösung einer solchen DG wird in 3 Schritten erhalten: Die DG wird in eine einfache algebraische Gleichung transformiert. Die einfache Gleichung wird mit Methoden der Algebra gelöst. Die Lösung der einfachen Gleichung wird zurück transformiert; als Resultat erhält man die Lösung der DG

16.1 Lapcacetransformation

Transformation vom t Raum in den s Raum Im Stöcker p. 701 hat es bereits bekannte Transformationspaare.	Die Umformung nach dieser Formel ist nicht immer nötig. Siehe dazu die Regeln weiter hinten. Die Rücktransformation ist etwas aufwendiger.

16.2 Rücktransformation

Die direkte Rücktransformation kennen wir noch nicht. Wir verwenden ein anders Vorgehen: F(s) durch (PBZ) parzialbruchzerlegung in Parzialbruche zerlegen. Dann Anhand der Transformationspaare im Stöcker p.701 zurück transformieren. Verwende auch die Nachfolgenden Sätze und Regeln	Siehe auch PBZ weiter vorne oder im Stöcker p.692f

16.3 Ein kleiner Ausschnitt aus dem Stöcker p. 701

F(s)	f(t)
1	
	1 und
	t und
	a!=0
	a!=0
	a!=0
	a!=0

16.4 Sätze

Transformationssatz	
Existenzsatz ,	f(t) darf nicht schnelle als irgendeine Exponentialfunktion wachsen. M und g sind Konstanten
Ableitungsregel Allgemein:	
Integralregel	
Verschiebung auf der s-Achse	
Verschiebung auf der t-Achse	Verschiebung nach rechts ( a>0 ) h(t-a) ist eine Sicherheitsmass-nahme und meistens nicht nötig Merkmal: e-as

16.5 Ableitung der Transformierten

	Vereinbarung: Alle unsere Funktionen seine 0 für t < 0

16.6 Integration der Transformierten

16.7 Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion erhält man durch eine Impulsantwort mit der d - Funktion oder der Ableitung davon h(t)-Funktion (Heaviside) Die Übertragungsfunktion ist eine von der Eingangsfunktion unabhängige Funktion und man erhält sie durch umformen der Transformierten DG. Impulsanwort=Gewichtsfunktion	

Die Übertragungsfunktion enthält alles über die Physik des Systems. entspricht der Faltung	G(s) : Übertragungsfunktion (Laplace-Tra.) Ua(s) : Ausgangssignal (LT) Ue(s) : Eingangssignal (LT)
Zusammensetzung von 2 Systemen Reihenschaltung:	
Rückkopplung:	

16.8 Faltung der Transformierten

Duhamelsche Formel:	

16.9 f ist T - periodisch

	Stöcker s. 690

16.10 Grenzwertsätze

Nur wenn die Grenzwerte existieren	Anfangswert Endwert

17. Z-Transformation

17.1 Z-Transformation einer Zahlenfolge

	Vielfach auch so geschrieben Z{f}=Z{yk}

17.1.1 Diskretisieren einer Funktion

	T ist die Abtastrate

17.2 Rücktransformation (Definition)

	Ähnlich wie bei der Laplace Transformation Siehe mehr 17.5

17.3 Eigenschaften von Folgen

Rechtsverschieben um m Stellen	
Linksverschieben um m Stellen	

Vorwärts Differenzenfolge	
Rückwärts Differenzenfolge	

17.3.1 Tip

Aufzeichnen der ersten paar Glieder Manchmal hilfreich Sinus in umwandeln fk={1,1,1,1,1,1} = hk (Heaviside)

Tabelle auf Seite 714 im Stöcker

17.4 Formeln Z-Transformation

Linearität	
Rückwärtsdifferenzenfolge	
Summationssatz ( Integration )	
Ähnlichkeitssatz	
Rechtsverschiebung	
Linksverschiebung	In einigen fällen ist Summe 0 da das Signal erst nach m Schritten am Ausgang erscheint.
Ableitung der Bildfunktion	
Faltung	

m-Periodische Folge	fk=fk+m
Dämpfung	ersetze z durch z / b

Anfangswertsatz	Gilt nur wenn der Grenzwert existiert
Endwertsatz	Gilt nur wenn beide Grenzwerte existieren

17.5 Rücktransformation

Tips. Funktion mit helfe einfacher Funktionen darstellen. Parzialbruch Zerlegung 8.0 PBZ	
Mit hilfe des Anfangswert satzes	Rekursives ermitteln der einzelnen Werte. Ist mühsam
Mit Hilfe der Laurent-Reihe (Potenzreihe)	Ersetze z durch 1/y (subst.) y=0 nach dem ableiten einsetzen!
Tabellenbuch Stöcker p.714	

17.6 Übertragungsfunktion/Gewichtsfunktion/Impulsantwort

Siehe dazu 16.7 Laplace diese Regeln gelten auch für die Z-Transformation	

17.7 Anwendung

17.7.1Definitionen

Lineares System	xk :Eingangssignal yk :Ausgangssignal uk :Faktoren
Zeitinvariantes System Ein um m verzögertes Eingangssignal liefert ein um m verzögertes Ausgabgssignal	
Diskretes System Eingangs- und Ausgangsignal können durch eine Zahlenfolge dargestellt werden.	

17.7.2 Symbole

Siehe auch Laplace

Addierer	
Multiplizierer	
Verzögerungsglied um eine Abtastperiode	
Rückkopplung	

17.8 Bemerkungen

Abtastfrequenz	T ist die Abtastrate
Umwandlung Laplace - Z - Transformation Die Umwandlung erfolgt über die inverse Laplacetransformation. Die erhalten Funktion muss dann diskretisiert werden(17.1.1) . Durch das Diskreteren erhält man die yk welche dann Z-Transformiert werden müssen.	

51. Eigenschaften von Vektoren

- Zwei Vektoren sind gleich , wenn sie gleiche Länge und gleiche Richtung haben.	
- Die Summe zweier Vektoren und ist der Vektor, der der Zusammensetzung der zu und gehörenden Translationen entspricht.	
- Assoziatives Gesetz	
- Der Kehrvektor von ist	
- Zwei Vektoren heissen kollinear, wenn sie zu einer einzigen Geraden parallel sind (dabei wird der Nullvektor als zu jeder Geraden parallel betrachtet).	
- Drei Vektoren heissen komplanar, wenn sie zu einer einzigen Ebene parallel sind (dabei ist der Nullvektor als zu jeder Ebene parallel zu betrachten).	
- Vektoren heissen linear unabhängig, wenn keiner von ihnen eine Linearkombination der andern ist(d.h. eine Summe von Vielfachen der andern) ist, sonst sind sie linear abhängig. Drei Vektoren in einer Ebene und vier Vektoren im Raum sind stets linear abhängig. *Die Determinante verschwindet wenn sie linear abhängig sind.*	

53. Trigonometrische Funktionen

53.1 Definition

Für einen beliebigen Vektor	

53.2 Grundbeziehungen

Quadrantenrelation Umwandlung Polar in rechtw. Koord. Umw. rechtw. In Polare Koord.	

53.3 Grafiken der Verschiedenen Trigonometrischen Funktionen

G1(x)=sin(x)

G2(x)=cos(x)

G3(x)=tan(x)

53.4 Sin , Cos , Tan Tabelle

Winkel °	Winkel rad	sin	cos	tan
0°	0	0	1	0
30°	1/6 p	½		
45°	¼ p			1
60°	1/3 p		½	
90°	½ p	1	0	±¥
120°	2/3 p		-½	-
135°	¾ p		-	-1
150°	5/6 p	½	-	-
180°	p	0	-1	0
210°	7/6 p	- ½	-	
225°	5/4 p	-	-	1
240°	4/3 p	-	-½	
270°	3/2 p	-1	0	±¥
300°	5/3 p	-	½	-
315°	7/4 p	-		-1
330°	11/6 p	-½		-
360°	2p	0	1	0

54. Sinussatz und Cosinussatz

Sinussatz: Cosinussatz	
Harmonische Schwingungen Periode: Frequenz:	a2 : Elongation a : Amplitude a : Phasenkonstante (Verschiebung) w : Kreisfrequenz
Superposition zweier harmonischer Schwingungen Bemerkung: Die Superposition zweier harmonischer Schwingungen mit ungleicher Frequenz ist keine harmonische Schwingung mehr. Superposition von A’ und B’ oder wegen Amplitude Phasenkonstante zur Zeit t=0	

Anwendungen bei schiefen Dreiecken

Gegeben	Figur	Satz
WSW		Sinussatz
SSW		Sinussatz
SWS		Cossinussatz
SSS		Cossinussatz

55. Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen

55.1 Die trigonom. Funktion der Summe und Differenz zweier Winkel

	(Siehe auch Stöcker letzte Seite)

55.2 Die trigonom. Funktion des doppelten und des halben Winkels

55.3 Trigonometrische Gleichungen

55.4 Quadrantenrelation zusatz

56. Gleichungen der Geraden

Parametergleichung Komponentengleichung Spurpunkte: Die Spurpunkte sind die Schnittpunkte S1,S2,S3 der XY-,YZ- und der ZX-Ebene. Es gilt S1=(x,y,0), S2=(0,y,z), S3=(x,0,z).	
Koordinatengleichung der Ebene Aus dem Gleichungssystem den Parameter t entfernen dann erhält man eine lin.Gleichung der Form: wobei A,B u. C scalare Faktoren sind. Möchte man einen Punkt auf der Geraden bestimmen so muss man die gleichung nur nach x oder y auflösen und dann einen wert einsetzen.	
Punkt-Richtungsform der Ebene Aus dem Gleichungssystem den Parameter t entfernen dann erhält man eine Gleichung der Form:	
wobei Normalform der Geradengleichung Bezeichnet man den Punkt wo die gerade die y-Achse schneidet mit Q(0,q) so lautet die Gleichung daraus folgt	m: Steigung Es gilt: m = 0 (j=0) parallel zur x-Achse m > 0 (0<j<90) steigend m < 0 (90<j<180) fallend
Winkel zwischen zwei Geraden	
Normale einer Geraden(Senkrechte) Gilt bei der Punktrichtungs form m als Steigung so ist die Normale der negative Kehrwert.	

57. Die Gleichungen der Ebene

57.1 Die Parametergleichung der Ebene

57.2 Koordinatengleichnung der Ebene

Umwandlung von Parametergleichung in Koordinatengleichung durch schrittweises Eliminieren von u und v BSP x = 3 + 3u -5v y = - 6u -4v z = 6 -10u -2v y-2z = -12 +14u 2x -5z = -24 +56u -2x+4y -3z = -24 2x+4y+3z-24 = 0

57.3 Schnitt von Geraden und Ebenen

Zwei sich schneidende Ebenen sind durch Ihre Koordinatengleichnung gegeben. 1. z=t; Gleich 1: Gleich 2: 2. Gleichungssystem nach x und y auflösen; 3. Als Parametergleichung

57.4 Umwandlung Koordinatengleichung in Parametergleichung

In einer gegebenen Koordinatengleichung werden gesetzt Dabei ergibt sich folgende Parametergleichnung ?

58. Das Scalare Produkt zweier Vektoren

58.1 Allgemein

HP48G: [MTH][VECTOR][DOT] Das Scalare Produkt ist kein Vektor sondern eine Zahl Räumlicher Pythagoras Bem: Das Scalare Produkt zweier zueinander Senkrecht stehenden Vektoren ist 0

58.1 Zwischenwinkel

Als Zwischenwinkel bezeichnet man den Winkel zwischen einem Vektor und den Koordinatenachsen. cos a,cos b und cos g heissen die Richtungscosinus von Kommutativgesetz: Distributivgesetz:

58.3 die vektorellen Komponenten

Unter der vektorellen Komponenten von in Richtung von versteht man die Projektion von auf die Gerade von .	
Projektion von aufin Richtung von Beachte: () zeigt in Richtung von und nicht

59. Zueinander normale Geraden und Ebenen

Es gilt: Für die Geradengleichung von g gilt: Der Normalvector lautet (länge 1)	
Für die Ebenengleichung gilt: Der Normalvector der Ebene lautet (länge 1)	
Es gilt für den Abstand vom Ursprung: Für die Geradengleichung gilt: Für die Ebenengleichung gilt: Für d gilt: (d>0) Dann liegt der Ursprung in der entgegengengesetzten Richtung wie der Normalvector zeigt.	

59.1 Hessische Normalform (HNF)

Hessische Normalform (HNF) Bestimme Abstand eines Punktes von der Geraden oder Ebene Der Punkt ist dabei x,y(,z) Ist (d>0) dann liegt der Punkt in Richtung des Normalenvektors	
Winkelhalbierende w1: w2:	
Berechnung eines Spiegelpunkts an einer Ebene xp ist der Ortsvektor vom Punkt P Ax+By+Cz+D=0 ist die Ebenengleichung	
Spiegelpunkt an der Normalen auf einer Ebene	
Neigungswinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene bzw. Normalen	

60. Kreis und Kugel

60.1 Gleichung des Kreises

oder allgemein der Form ausgeschrieben x,y Punkt des Mittelpunkts p1,2 Punkt P	

60.2 Gleichung des Kugel

60.3 Zusammenhänge

Für eine Kugel/Kreis gilt:

60.4 Schnittpunkt Kreis - Gerade

Die Geradengleichung nach x (oder y) auflösen und in der Kreisgleichung einsetzen. Dann quad.gleich. nach y1,2 auflösen und mit diesen Resultaten x1,x2 berechnen. Kreis: Gerade : mit x:

60.5 Durchstosspunkte der Kugel mit einer Geraden in Parameterform

60.6 Tangente/(Tangentialebene)

Punkt in Form P0(px,py,pz) gegeben. Kreis in Form Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + q = 0 gegeben.	
Es gilt: und oder Die dazugehörige Tangentengleichung ist:

60.7 Polare/(Polarebene)§

1. Setzt man den Punkt P0 in die Tangentengleichung ein so erhält man die Polare (Polareben). 2. Setzt man diese wieder um in die Kreisgleichung ein erhält man die Punkte P1,P2 3. Diese eingesetzt in die Tangentengleichung ergeben Tangente 1 und 2.

60.7.1 Eigenschaften der Polare (Polarebene)

60.7.2 Gesucht der Pol

Gegeben Kreis(Kugel)	x2 + y2 + z2 + Ux + Vy + Wz + q = 0

Gegeben Gerade(Ebene)	Ax + By + Cz + D = 0

Gesucht	Pol P0(px/py/pz)

Die Verhältnisgleichungen lauten:

	:		=	A	:	B
	:		=	B	:	C
	:		=	C	:	D
Diese 3 Gleichungen nach Px,Py und Pz auflösen

60.8 Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises oder einer Kugel

Die Potenzgerade(Potenzebene) erhält man in dem sich 2 Kreise (Kugeln) schneiden. I : II : Die Potengerade(-ebene) erhält man in dem die I -II rechnet so dass x2 und y2 verschwinden.	

61. Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt

HP48 =[MTH][VECT][CROSS]

Siehe Algebra

Flächenprodukt Das Flächenprodukt ist gleich dem positiven oder negativem Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms Zwei Vektoren sind kollinear wenn: Die Fläche eines Dreiecks: Das Flächenprodukt ist somit: Das Vektor Produkt wird wie Folgt gerechnet Wird geschrieben zu	
Gesetze: 1. Das kommutativ Gesetz	
2. Das assoziative Gesetz	
3. Sind x, y reelle Zahlen	

62. Das Spatprodukt

HP48=[MTH][MATR][NORM][DET]

Siehe auch „Berechnung der Determinate“ in Algebra

Definition: Unter einem Spatprodukt von drei Vektoren versteht man das positive oder negative Volumen des von diesen Vektoren aufgespannten Spats(Je nach links oder rechtssystem). (Für Bestimmung Rechts- oder Linkssystem Schraubenregel verwenden)	
Gesetze 1. 2 3. Eine sog. 3-gliedrige Determinante 4. 5.	

Cramersche Regel zur Lösung eines Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten Die Gleichung kann als Vektorgleichung geschrieben werden so das gilt:	
Abstandsprobleme 1.Abstand eines Punktes P1 von einer Ebene	
2. Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum Berechnung des Fusspunktes F	
3. Abstand zweier windschiefer Geraden und	

Geometrische Probleme 1. Volumen eines Tetraeaders	
Mehrfachprodukt 1. Dreifachprodukt	
2. Vierfachprodukt	
3. Beweis der Hauptformeln der sphärischen Trigonometrie Seiten-Cosinussatz a,b,c in Bogenmass Sinussatz + zyklisches Vertauschen Winkel-Cosinussatz	

Problem Flugverkehr auf der Erde ( Achtung bei Flug von Nordhalbkugel zur Südhalbkugel )	

Wann wird welcher Satz verwendet	
Sinussatz SS		Drei der roten Stücke müssen gegeben sein, dann kann man mit dem Sinussatz das vierte berechnen.
Seiten Cosinussatz SKS		Rote Stücke gegeben, eines der blauen gesucht und das andere ebenfalls gegeben, dann kann das gesuchte Stück mit dem SKS berechnet werden.
Winkel Cosinussatz WKS		Rote Stücke gegeben, eines der blauen gesucht und das andere ebenfalls gegeben, dann kann man das gesuchte Stück mit dem WKS berechnet werden.
Fläche eines Sphärischen Dreiecks In einem Sphärischen Dreieck gelten die Ungleichungen: (a,b,c in Bogenmass [] ) Der Exzess eines Kugeldreieck ist Def. Daraus ergibt sich die Fläche:	

98. Spezielle Gleichungen

98.1 Grundmenge G Lösungsmenge L

	Identität,tantalogie oder kantalogie Gleichung
	Kontradiktion oder kontradiktorrisch Gleichung
	Bedingungsgleichung

98.2 Ungleichungen

98.2.1 Einige Regeln

(iii)	Falls a<b , dann gilt für c>0: ac < bc c<0: ac > bc
(iv)	Falls a<b und c<d, dann gilt a+c < b+d
(v)	Falls a>0 und b>0 oder a<0 und b<0, dann folg aus

98.3 Lösen von Wurzelgleichungen

Wurzelgleichungen werden gelöst in dem man alle ausdrücke mit der Wurzel auf eine Seite bringt. Dann wird durch quadrieren die Wurzelausdrücke eliminiert. Achtung! Es können neue Lösungen entstehen. D.h es muss kontrolliert werden ob jede Lösung eine gültige Lösung ist.

98.4 Lösen von Exponentialgleichungen

Den Ausdruck mit dem x im Exponenten in Faktoren umformen oder Dann auf beiden Seiten den Logarithmus ziehen. (Regeln siehe Logarithmen)

98.5 Lösungsmenge mittels des Rang Kriterium

Gleichung der Form zb.
Koeffizienten nxm Matrix zb von oben.
Erweiterte Koeffizientenmatrix nx(m+1) zb. von oben

Die Lösungsmenge ist nach folgender Tabelle definiert

	n<m	n=m	n>m
	Rg(A’)<n	Rg(A’)=n	Rg(A’)<n	Rg(A’)=n	Rg(A’)<n	Rg(A’)>n
Rg(A)<Rg(A’)	Keine Lös.	Keine Lös.	Keine Lös.	Keine Lös.	Keine Lös.	Keine Lös.
Rg(A)=Rg(A’)	Unendl.Lös.	Unendl.Lös.	Unendl.Lös.	Eine Lös.	Methode der	kleinsen Quadr.

99. Boolesche Algebra

Boolesche Verknüpfung

Bezeichung	Notation	Bemerkung
Negation	NOT,	
Konjuction	AND,, ·	Auf das · kann verzichtet werden
Disjunktion	OR,Ú, +	

Verwendete Symbole

NOT		
AND		
OR		

Prioritäten

1. NOT

2. AND

3. OR

Rechenregeln

1.)		
2.)		
3.)		
4.)		
5.)		Tautologi
6.)		Kontra...
7.)		Kommotativgesetz
8.)		Assoziativgesetz
9.)		Distributivgsetz
10.)

Formelsammlung Algebra	

Autor: M.Drifte	Seite: 55/55	19. Nov. 2006

Formelsammlung Algebra 2. Matrizen

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Drifte Marcel

1998-10-01T08:51:00

Marcel Drifte